1-1-1. 等級

Magnitude

光

放射束

定義

放射束 $L$ は次のように，点光源が全方向に放射する全光エネルギーが $E$ を時刻 $t$ で微分することで得られる。

L = \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}

導出

放射束とは「光源が単位時間あたりに放射する全エネルギー」である。時刻 $t$ において光源が全方向に放射する全光エネルギーを $t$ の関数として $E(t)$ と表すとき，時刻 $t+\Delta t \; (\Delta t>0)$ における全光エネルギーは $E(t+\Delta t)$ である。時刻 $t$ から $t+\Delta t$ までの平均放射束 $L_\mathrm{avg}$ は

L_\mathrm{avg} = \dfrac{E(t+\Delta t) - E(t)}{(t+\Delta t) - t}

ここで時刻 $t$ における瞬間の放射束を求めるには $\Delta t$ を限りなく $0$ に近づけることを考えればよい。これは導関数の定義そのものに他ならない。したがって

L = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{E(t+\Delta t) - E(t)}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}

放射流束

定義

放射流束 $F$ は次のように，ある面を垂直に通過する光エネルギーが $E$ を時刻 $t$ および面の面積 $A$ で微分することで得られる。

F = \dfrac{\mathrm{d}^2E}{\mathrm{d}A \mathrm{d}t}

導出

放射流束とは「ある面を単位時間あたり・単位面積あたりに垂直に通過する光エネルギー」である。面積 $A$ の面を時刻 $t$ までに通過する光エネルギーを $E$ と表すとき，時刻 $t$ から $t+\Delta t \; (\Delta t>0)$ ，面積 $A$ から $A+\Delta A \; (\Delta A>0)$ の範囲において面を通過する光エネルギーの増分を $\Delta E$ とする。この範囲における平均放射流束 $F_\mathrm{avg}$ は

F_\mathrm{avg} = \dfrac{\Delta E}{\Delta A \Delta t}

ここで，特定の位置および瞬間における放射流束を求めるには $\Delta t$ および $\Delta A$ を限りなく $0$ に近づけることを考えればよい。これは導関数の定義そのものに他ならず，まず $\Delta t$ を限りなく $0$ に近づけて

\lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta E}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}

さらに $\Delta A$ を限りなく $0$ に近づけることで $F$ を得る。

F = \lim_{\Delta A \to 0} \dfrac{1}{\Delta A} \left( \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} \right) = \dfrac{\mathrm{d}^2E}{\mathrm{d}A \mathrm{d}t}

放射流束ベクトル

公式

放射束 $L$ の点光源を原点とする位置 $\boldsymbol{r}$ における放射流束ベクトル $\boldsymbol{F}$ は次のように表す。

\boldsymbol{F}=\dfrac{L}{4\pi r^2} \dfrac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}

導出

放射流束ベクトルの大きさを $F = |\boldsymbol{F}|$ とする。

導出1

点光源を囲む半径 $r = |\boldsymbol{r}|$ の閉じた球面 $S$ を考える。点光源から単位時間あたりに発生する全エネルギー，すなわち放射束を $L$ とすると，エネルギー保存則より，このエネルギーはすべて球面 $S$ を外部にむかって通過する。したがって微小面積ベクトルを $d\boldsymbol{S}$ とすると，球面全体を貫く流束の総和と放射束 $L$ の関係は

\oint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = L \tag{1}

ここで，球面 $S$ 上の微小な面積要素を $dS$ ，その位置における外向きの単位法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$ とすると，微小面積ベクトルは $d\boldsymbol{S} = \boldsymbol{n} \, dS$ と表される。球体の場合，中心から外側へ向かう方向（放射方向）がそのまま面の法線方向となるため，位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ を用いて $\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}$ と書ける。したがって，微小面積ベクトルは $d\boldsymbol{S} = \dfrac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} \, dS$ となり，式 $(1)$ は次のように書き換えられる。

\oint_S \boldsymbol{F} \cdot \left( \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} \right) dS = L

点光源から全方位へ一様にエネルギーが放射されているため（球対称性），中心からの距離が等しい球面上では，放射流束の大きさ $F = |\boldsymbol{F}|$ は常に一定である。また，流束の向きも真外（放射方向）を向いているため， $\boldsymbol{F} = F \dfrac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}$ と表せる。

数学公式 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2$ より，被積分関数の内積部分は

\begin{aligned} \boldsymbol{F} \cdot \left( \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} \right) &= \left( F \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} \right) \cdot \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}\\ &= F \frac{\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|^2} = F \end{aligned}

となる。大きさ $F$ は球面上いたる所で一定であるため，積分の外へ出すことができる。

F \oint_S dS = L

残った $\displaystyle \oint_S dS$ は，半径 $r$ の球面 $S$ の全表面積 $\displaystyle \oint_S dS = 4\pi r^2$ を表す。したがって

\begin{aligned} F \cdot 4\pi r^2 &= L\\ F &= \frac{L}{4\pi r^2} \end{aligned}

となり，放射流束の大きさ $F$ が求まる。

求めた大きさ $F$ に，動径方向の外向き単位ベクトル $\dfrac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}$ を掛け合わせることで，目的のベクトル形式の放射流束 $\boldsymbol{F}$ が導かれる。

\boldsymbol{F} = \frac{L}{4\pi r^2} \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}

点光源を囲む半径 $r = |\boldsymbol{r}|$ の閉じた球面 $S$ を考える。

球面 $S$ 上の微小面積ベクトルを $d\boldsymbol{S}$ とすると

点光源を囲む半径 $r = |\boldsymbol{r}|$ の閉じた球面 $S$ を考える。球面 $S$ 上の微小な面積要素を $dS$ ，その位置における外向きの単位法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$ とすると，微小面積ベクトル $d\boldsymbol{S}$ は

d\boldsymbol{S} = \boldsymbol{n} dS

微小な面積要素 $dS$ を考えるとき，その微小面を単位時間あたりに貫いて外部へ流出するエネルギーは，放射流束の法線方向成分を用いて

\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS = \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S}

したがって，球面 $S$ 全体を通って外部へ流出する単位時間あたりの総エネルギーは，この微小エネルギーを球面全体で足し合わせた面積積分だから

\oint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S}

これがエネルギー保存則より光源の放射束 $L$ に等しいため，次の関係式が成り立つ。エネルギー保存則より，単位時間あたりにこの球面 $S$ 全体を貫いて外部へ流出する総エネルギーは光源の放射束 $L$ に等しい。

\oint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = \oint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS = L \tag{1}

球対称性より，放射流束 $\boldsymbol{F}$ は常に動径方向の単位法線ベクトル $\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}$ を向き，その大きさ $F$ は球面上いたる所で一定である。したがって

\boldsymbol{F} = F \dfrac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}

数学公式 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2$ より

\begin{aligned} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} &= \left( F \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} \right) \cdot \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}\\ & = F \frac{\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|^2} = F \end{aligned}

これを $(1)$ に代入すると

\begin{aligned} \oint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS&= \oint_S F \, dS \\ &= F \oint_S dS \end{aligned}

半径 $r$ の球面 $S$ の全表面積が $\displaystyle \oint_S dS = 4\pi r^2$ だから， $(1)$ より

\begin{aligned} F \cdot 4\pi r^2 &= L\\ F &= \frac{L}{4\pi r^2} \end{aligned}

これを $(2)$ に代入して

\boldsymbol{F} = \frac{L}{4\pi r^2} \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}

導出2

光源が半径 $R$ の球体であり，内部で一様に光を放射しているとする。単位体積あたりの発光率を $\epsilon$ とすると，総放射束は $L = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \epsilon$ である。光源外部の距離 $r$ にある観測点 $\mathrm{P}$ における放射流束の大きさ $F$ を求める。対称性から放射流束は $\mathrm{P}$ に向かう軸方向成分のみが残る。

① 薄い帯からの寄与球中心から半径 $x$ ，厚み $dx$ の薄い球殻について，中心と $\mathrm{P}$ を結ぶ軸から角度 $\theta$ ，幅 $d\theta$ の「薄い帯（円環）」を考える。帯の体積は $dV = 2\pi x^2 \sin\theta \, d\theta \, dx$ であり，帯からの放射束は $dL = \epsilon dV$ である。帯から $\mathrm{P}$ までの距離を $s$ ，光の到達方向が軸となす角を $\phi$ とすると，余弦定理より $s^2 = x^2 + r^2 - 2xr \cos\theta$ ，および $\cos\phi = \dfrac{s^2 + r^2 - x^2}{2sr}$ が成り立つ。帯から $\mathrm{P}$ への放射流束の軸方向成分 $dF$ は次のように表される。

dF = \dfrac{\epsilon dV}{4\pi s^2} \cos\phi = \dfrac{\epsilon (2\pi x^2 \sin\theta \, d\theta \, dx)}{4\pi s^2} \left( \dfrac{s^2 + r^2 - x^2}{2sr} \right)

② 球殻表面での積分この帯を $\theta$ について $0$ から $\pi$ まで足し合わせる。 $s^2 = x^2 + r^2 - 2xr \cos\theta$ の両辺を微分すると $\sin\theta \, d\theta = \dfrac{s}{xr} ds$ となる。積分範囲は $\theta=0$ のとき $s=r-x$ ， $\theta=\pi$ のとき $s=r+x$ である。これらを代入して整理すると，半径 $x$ の球殻からの寄与 $\Delta F$ は

\Delta F = \dfrac{\epsilon x}{4r^2} dx \int_{r-x}^{r+x} \left( 1 + \dfrac{r^2 - x^2}{s^2} \right) ds

定積分を計算すると $\left[ s - \dfrac{r^2 - x^2}{s} \right]_{r-x}^{r+x} = 4x$ となるため， $\Delta F = \dfrac{\epsilon x^2}{r^2} dx$ となる。

③ 体積全体での積分これを球の中心 $x=0$ から表面 $x=R$ まで積分し，全体の放射流束 $F$ を求める。

F = \int_0^R \dfrac{\epsilon x^2}{r^2} dx = \dfrac{\epsilon}{r^2} \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^R = \dfrac{\epsilon R^3}{3r^2}

全体の放射束 $L = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \epsilon$ を用いて $\epsilon$ を消去すると，

F = \dfrac{L}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \dfrac{R^3}{3r^2} = \dfrac{L}{4\pi r^2}

これに動径方向の単位ベクトル $\dfrac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|}$ を掛けることで，同様に式が導出される。

フルエンス

定義

面積 $S$ の面を垂直に通過する全エネルギーが $E$ であるとき，単位面積あたりに到達した総エネルギーであるフルエンス $H$ は次のように表す。

H = \dfrac{E}{S}

説明

「フルエンス」とは，一定の期間内に「単位面積あたりに到達したエネルギーの総量」のことである。放射流束が「瞬間的な光の強さ」であるのに対し，フルエンスは「ある期間に浴びた光の合計」を表す。

面積 $S$ の面に総量 $E$ のエネルギーが到達したとき，単位面積あたりに到達したエネルギー $H$ を求めることを考える。

このとき，次の比の式が成り立つ。

S : E = 1 : H

内項と外項の積は等しいから，

H \cdot S = E

両辺を $S$ で割ることで，定義通りの式が導かれる。

H = \dfrac{E}{S}

また，放射流束の定義 $F = \dfrac{E}{S \cdot \Delta t}$ を用いると， $\dfrac{E}{S} = F \cdot \Delta t$ であるから，放射流束が一定であれば $H = F \cdot \Delta t$ （放射流束 $\times$ 照射時間）とも表せる。

等級

定義

$2$ つの天体の放射流束 $F_\mathrm{X}$ と $F_\mathrm{Y}$ の間に $\dfrac{F_\mathrm{X}}{F_\mathrm{Y}}=\dfrac{1}{10^2}$ が成り立つとき，それぞれの等級 $m_\mathrm{X}$ ， $m_\mathrm{Y}$ の関係は次のように定める。

m_\mathrm{X}-m_\mathrm{Y}=5

説明

プトレマイオス（CE 2世紀）は著作『アルマゲスト（Almagest）』で，ヒッパルコス（BCE 2世紀）の説を引用する形で，肉眼で見える最も明るい星々を $1$ 等星，見えなくなる限界の微かな星々を $6$ 等星として $6$ 段階に分類した。ウィリアム・ハーシェル（William Herschel，1800〜1817年）が論文"On the Power of Penetrating into Space by Telescopes"，Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1800)で自作望遠鏡と絞り装置を用いて星の放射流束を計測。等級間の明るさの値が等比数列（一定の倍率）をなしていることを見出し， $1$ 等星は $6$ 等星の約 $100$ 倍の明るさがあるという仮説を提示。ジョン・ハーシェル（John Herschel，1836 / 1847年）は Results of Astronomical Observations made at the Cape of Good Hope (1847) ではプリズム測光器を用いて星の光束を連続測定。等級 $m$ が $1$ 増えるごとに放射流束が公比 $r$ で減衰する等比関係を実測データで確かめた。

放射流束の等比関係

定義

等級差が $1$ であるような $2$ つの天体の放射流束 $F$ と $F^\prime$ の関係式は次のように表す。

\dfrac{F}{F^\prime}=const.

説明

ジョン・ハーシェル（John Herschel，1836 / 1847年）は Results of Astronomical Observations made at the Cape of Good Hope (1847) でプリズム測光器を用いて星の光束を連続測定。等級 $m$ が $1$ 増えるごとに放射流束が一定比で減衰することを実測データで確かめた。

ポグソンの式

公式

$2$ つの天体の等級差 $m_\mathrm{X}-m_\mathrm{Y}$ はそれぞれの放射流束 $F_\mathrm{X}$ ， $F_\mathrm{Y}$ を用いて次のように求める。

m_\mathrm{X}-m_\mathrm{Y}=-\dfrac{5}{2}\log_{10}\left(\dfrac{F_{\mathrm{X}}}{F_{\mathrm{Y}}}\right)

導出

等級差が $1$ であるときの放射流束比は一定だから，この定数を $k$ （ただし $k > 1$ ）とおくと，等級が $1$ 小さい（ $1$ 等級明るい）天体の放射流束は元の天体の放射流束の $k$ 倍である。したがって等級 $m_\mathrm{X}$ ， $m_\mathrm{Y}$ をもつ $2$ つの天体 $\mathrm{X}$ ， $\mathrm{Y}$ の放射流束 $F_\mathrm{X}，F_\mathrm{Y}$ の比は

\dfrac{F_\mathrm{X}}{F_\mathrm{Y}} = k^{m_\mathrm{Y} - m_\mathrm{X}} \tag{1}

ここで $m_\mathrm{X} - m_\mathrm{Y} = 5$ ，すなわち $m_\mathrm{Y} - m_\mathrm{X} = -5$ のとき， $\dfrac{F_\mathrm{X}}{F_\mathrm{Y}} = \dfrac{1}{10^2} = 10^{-2}$ が成り立つから，これを $(1)$ 式に代入すると

\begin{aligned} 10^{-2} &= k^{-5} \\ k &= 10^{\frac{2}{5}} \end{aligned}

これを $(1)$ 式に代入すると

\dfrac{F_\mathrm{X}}{F_\mathrm{Y}} = \left(10^{\frac{2}{5}}\right)^{m_\mathrm{Y} - m_\mathrm{X}} = 10^{{\frac{2}{5}}(m_\mathrm{Y} - m_\mathrm{X})}

両辺の常用対数 $\log_{10}$ をとって $m_\mathrm{X} - m_\mathrm{Y}$ について整理すると

\begin{aligned} \log_{10}\left(\dfrac{F_\mathrm{X}}{F_\mathrm{Y}}\right) &= \dfrac{2}{5}(m_\mathrm{Y} - m_\mathrm{X})\\ m_\mathrm{X} - m_\mathrm{Y} &= -\dfrac{5}{2} \log_{10}\left(\dfrac{F_\mathrm{X}}{F_\mathrm{Y}}\right) \end{aligned}

等級０

定義

波長によらず 3631Jy を 0mag としたものを AB 等級と呼ぶ

説明

AB等級

公式

周波数あたりの光束密度を $f_\nu$ とするとき，AB等級 $m_\mathrm{AB}$ は基準光束密度 $f_0 = 3631 \text{ Jy}$ を用いて次のように求める。

m_\mathrm{AB} = -\dfrac{5}{2}\log_{10}\left(\dfrac{f_\nu}{f_0}\right)

説明

周波数によらず一定の光束密度 $f_0 = 3631 \text{ Jy}$ （ $= 3.631 \times 10^{-20} \mathrm{erg \cdot s^{-1} \cdot cm^{-2} \cdot Hz^{-1}}$ ）をもつ仮想的な天体を $0$ 等級（ $m_0 = 0$ ）の絶対基準と定めている。したがって，ある天体の光束密度を $f_\nu$ ，その等級を $m_\mathrm{AB}$ とし，基準天体（ $m_0 = 0, f_0 = 3631 \text{ Jy}$ ）との間でポグソンの式を適用することで

m_\mathrm{AB} - 0 = -\dfrac{5}{2} \log_{10}\left(\dfrac{f_\nu}{f_0}\right)

これに $f_0 = 3631 \text{ Jy}$ を代入すると

m_\mathrm{AB} = -\dfrac{5}{2} \log_{10}\left(\dfrac{f_\nu}{3631 \text{ Jy}}\right) \tag{1}

ここで，CGS単位系（ $\mathrm{erg \cdot s^{-1} \cdot cm^{-2} \cdot Hz^{-1}}$ ）における光束密度 $f_\nu$ を用いる場合， $1 \text{ Jy} = 10^{-23} \mathrm{erg \cdot s^{-1} \cdot cm^{-2} \cdot Hz^{-1}}$ であるから $f_0 = 3.631 \times 10^{-20} \mathrm{erg \cdot s^{-1} \cdot cm^{-2} \cdot Hz^{-1}}$ となる。これを $(1)$ 式に代入して整理すると

\begin{aligned} m_\mathrm{AB} &= -\dfrac{5}{2} \log_{10}\left(\dfrac{f_\nu}{3.631 \times 10^{-20}}\right) \\ &= -\dfrac{5}{2} \left( \log_{10}f_\nu - \log_{10}(3.631 \times 10^{-20}) \right) \\ &= -\dfrac{5}{2} \log_{10}f_\nu + \dfrac{5}{2}\log_{10}(3.631 \times 10^{-20}) \\ &= -\dfrac{5}{2} \log_{10}f_\nu - 48.60 \end{aligned}

となり，CGS単位系におけるAB等級の標準的な定義式が得られる。