2-1-3. 因数分解

整式の除法の原理より，任意の整式 $C(x)$ を $1$次以上の整式 $A(x)$ で割ったとき

を満たす商 $Q(x)$ と 余り $R(x)$ がただ $1$ 組一意に存在する。ここで，余り $R(x)$ の次数は，割る式 $A(x)$ の次数よりも小さいか，または $R(x) = 0$ である。一方，仮定より $C(x)$ は $A(x)$ と $B(x)$ の積だから

が成り立つ。式 $(1)$ と $(2)$ の右辺はともに $C(x)$ に等しいので

移項して $A(x)$ でくくると，次式を得る。

ここで，$B(x) - Q(x) \neq 0$ であると仮定する。

このとき，$B(x) - Q(x)$ は何らかの整式（$0$ でない定数を含む）であるため，その次数は $0$ 以上である。左辺の次数を考えると，整式の積の次数はそれぞれの次数の和になるから，

となる。ここで，右辺 $R(x)$ の次数は，除法の定義により$A(x)$ の次数よりも小さいから，$(4)$ 式と矛盾する。したがって仮定は誤りであり，$B(x) - Q(x) = 0$ すなわち

これを $(3)$ 式に代入すると， $A(x) \cdot 0 = R(x)$ となり，$R(x) = 0$ を得る。

もし $A(x)$ が $0$ になった場合、いわゆる $0$ 除算が許されない範囲においてどのように解釈するべきか、という疑念が生じる。厳密には、後述の環論において、割る式の主係数が単数である（実質的に最高次係数が $0$ でない）ときだけ、この操作が許されることがわかっている。したがって $A(x)$ が $1$ 次以上の整式であることを明記すればよい範囲では、考慮を要しない。

整式の除法の原理より、任意の整式 $P(x)$ を $1$ 次式 $x - \alpha$ で割ったとき

を満たす商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ がただ1組一意に存在する。ここで、余り $R(x)$ の次数は、割る式 $x - \alpha$ の次数（$1$ 次）よりも小さいため、 $R(x)$ は $x$ を含まない定数となる。この定数を $R$ とおく。

式 $(1)$ はすべての $x$ について成り立つ恒等式だから、両辺に $x = \alpha$ を代入して整理すると

$P(x)$ が $x - \alpha$ を因数に持つ、すなわち割り切れることは、余り $R$ が $0$ であることと同値である。 したがって、剰余の定理 $R = P(\alpha)$ より

が成り立ち、 $P(\alpha) = 0$ であるときに限り $P(x)$ は $x - \alpha$ を因数に持つことが示された。