総合問題

問題 1

$n, m$ を自然数とする。正の整数からなる集合 $C$ を，次の条件（ア）または（イ）の少なくとも一方を満たす数の集合とする。

（ア） $3$ の倍数である。

（イ）いずれかの位の数に $3$ が含まれる。

$m$ 進法で表したときに $n$ 桁以下となる正の整数全体の集合を $S_{n,m}$ とし， $S_{n,m}$ の要素のうち集合 $C$ に属するものの個数を $A(n,m)$ とする。

問 1

$A(1,10), \; A(2,10), \; A(2,4), \; A(2,11)$ の値をそれぞれ求めよ。

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集合 $S_{n, m}$ の要素数を $N(n, m)$ とする。一般に， $m$ 進数における $n$ 桁の数について，その各桁に入る数字は $0, 1, 2, \dots , m-1$ の $m$ 通りある。このとき全ての桁の選び方は積の法則より

\underbrace{m \times m \times \dots \times m}_{n \text{ 個}} = m^n \text{ 通り}

条件から集合 $S_{n, m}$ には正の数のみが要素として属しているから，ここから $0$ の場合を除外することにより

N(n, m)=m^n-1

⑴　 $A_{1,10}$ について

$10$ 進法で表したときに $1$ 桁以下となる整数全体の集合

問 2

$A_{n,m}$ を $n$ と $m$ を用いて表せ。

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問題 2

次の問いに答えよ。

(1)

任意の実数 $x$ に対して

e^{x-1} \ge x

が成り立つことを示せ。また，これを用いて任意の正の実数 $a_1, \dots, a_n$ に対して

\dfrac{a_1+\dots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1\dots a_n}

を示せ。

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$a = b$ のときは，

左辺 $= \dfrac{na + a}{n+1} = a$
右辺 $= \sqrt[n+1]{a^n \cdot a} = \sqrt[n+1]{a^{n+1}} = a$

となり等号が成り立つ。

次に $a \ne b$ のとき，不等式が厳密に成り立つ（等号なしの $>$ となる）ことを示す。

両辺は正であるから， $n+1$ 乗した不等式 $\left(\frac{na+b}{n+1}\right)^{n+1} > a^n b$ を示せばよい。両辺を $a^{n+1} > 0$ で割ると， $\left(\frac{n + \frac{b}{a}}{n+1}\right)^{n+1} > \frac{b}{a}$ となるので， $t = \dfrac{b}{a}$ （ $t > 0, \, t \ne 1$ ）とおき， $f(t) = \left(\frac{n+t}{n+1}\right)^{n+1} - t \quad (t > 0)$ とおいて関数の増減を調べる。

$f(t)$ を $t$ で微分すると， $f'(t) = (n+1)\left(\frac{n+t}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} - 1 = \left(\frac{n+t}{n+1}\right)^n - 1$

ここで，

$0 < t < 1$ のとき， $\dfrac{n+t}{n+1} < \dfrac{n+1}{n+1} = 1$ より $f'(t) < 0$
$t = 1$ のとき， $f'(1) = 1^n - 1 = 0$
$t > 1$ のとき， $\dfrac{n+t}{n+1} > \dfrac{n+1}{n+1} = 1$ より $f'(t) > 0$

したがって， $f(t)$ の増減表は以下のようになる。

\begin{array}{c|ccccc} t & (0) & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + \\ \hline f(t) & & \searrow & \text{極小かつ最小} & \nearrow \\ \end{array}

増減表より， $f(t)$ は $t=1$ で最小値をとる。 $f(1) = \left(\frac{n+1}{n+1}\right)^{n+1} - 1 = 1 - 1 = 0$ よって， $t \ne 1$ （すなわち $a \ne b$ ）のとき $f(t) > f(1) = 0$ すなわち $\left(\frac{n+t}{n+1}\right)^{n+1} > t$ が成り立つ。

両辺に $a^{n+1} > 0$ を掛けて $\dfrac{1}{n+1}$ 乗をとることにより， $\frac{na+b}{n+1} > \sqrt[n+1]{a^n b}$ が示された。

以上より， $\frac{na + b}{n+1} \ge \sqrt[n+1]{a^n b}$ が成り立ち，等号は $a = b$ のときに限り成立する。

(2)

(1) を用いて，任意の自然数 $k$ に対して

\left(1+\frac{1}{k}\right)^k < e < \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}

が成り立つことを示せ。ただし $e$ を自然対数の底とする。

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自然数 $k$ に対し，相加相乗平均の不等式を用いると， $k$ 個の $1+\dfrac{1}{k}$ と $1$ 個の $1$ について

\sqrt[k+1]{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \cdot 1} < \frac{k\left(1+\frac{1}{k}\right)+1}{k+1} = 1 + \frac{1}{k+1}

両辺を $k+1$ 乗して $\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k < \left(1+\dfrac{1}{k+1}\right)^{k+1}$ となるため，数列 $a_k = \left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k$ は単調増加である。

同様に， $k+1$ 個の $1-\dfrac{1}{k+1}$ と $1$ 個の $1$ について

\sqrt[k+2]{\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1} \cdot 1} < \frac{(k+1)\left(1-\frac{1}{k+1}\right)+1}{k+2} = \frac{k+1}{k+2} = 1 - \frac{1}{k+2}

両辺を $k+2$ 乗して逆数をとると $\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^{k+1} > \left(1+\dfrac{1}{k+1}\right)^{k+2}$ となり，数列 $b_k = \left(1+\dfrac{1}{k}\right)^{k+1}$ は単調減少である。

$\displaystyle \lim_{k\to\infty} a_k = \lim_{k\to\infty} b_k = e$ であるから，任意の自然数 $k$ に対して次の不等式が成り立つ。

\left(1+\frac{1}{k}\right)^k < e < \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}

(3)

次の極限値を求めよ。

\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}}

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(4)

(2)，(3) を用いて，次の極限値を求めよ。

\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[n]{n !}}{n}

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\prod_{k=1}^{n-1} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k = \prod_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)^k}{k^k} = \frac{2^1}{1^1} \cdot \frac{3^2}{2^2} \cdot \frac{4^3}{3^3} \cdots \frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}} = \frac{n^{n-1}}{(n-1)!} = \frac{n^n}{n!}

である。

不等式 $\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k < e$ を $k=1, 2, \dots, n-1$ について掛け合わせると，

\frac{n^n}{n!} = \prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k < e^{n-1}

また， $\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^{k+1} > e$ を同様に掛け合わせると，

\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1} > e^{n-1}

左辺は

\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1} = \left(\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right) \left(\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}\right) = \frac{n^n}{n!} \cdot n

であるから，

\frac{n^n}{n!} > \frac{e^{n-1}}{n}

が得られる。

以上を合わせると，

\frac{e^{n-1}}{n} < \frac{n^n}{n!} < e^{n-1}

$n$ が十分大きいとき各項は正の数だから，各辺の逆数をとり， $\dfrac{1}{n}$ 乗すると，

e^{-\frac{n-1}{n}} < \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} < n^{\frac{1}{n}} e^{-\frac{n-1}{n}}

となる。

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問題 3

投げたとき表裏のいずれかが出るが，その出る確率は等しくないゆがんだコイン $A$ が $1$ 枚， $0$ から $m$ までの目が出るが，それぞれの目の出る確率がある自然数 $K$ を用いて $\dfrac{b_j}{K}$ （ $b_j$ は $0$ 以上 $9$ 以下のすべて異なる整数）と表される特注の $(m+1)$ 面サイコロ $B$ が $1$ つある。コインを投げたときは，表が出れば $1$ 点，裏が出れば $0$ 点を獲得する。サイコロを投げた時は，出た目の数だけ点数を得る。

コインとサイコロの合計得点を $X=A+B$ とし， $X$ の最大値を $N=m+1$ とする。ここで，複素数 $z \neq 0$ に対し， $z$ の期待値を

f(z) = E\left[z^{X}\right]

とする。また，以下において中央値 $\dfrac{N}{2}$ に対して期待値が完全に対称であるとは

E\left[z^{X-\frac{N}{2}}\right] = E\left[z^{-\left(X-\frac{N}{2}\right)}\right]

が成り立つことである。次の問に答えよ。

(1)

合計得点 $X$ が中央値に関して対称であるための必要十分条件は，すべての $z \neq 0$ に対し

f(z) = z^N f\left(\frac{1}{z}\right)

が成り立つことであることを示せ。

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[1] 必要性（ $\implies$ ）

対称であるとき、すべての $z \neq 0$ に対し $E[z^{X - N/2}] = E[z^{-(X - N/2)}]$ が成り立つ。左辺 $= z^{-N/2}f(z)$ 、右辺 $= z^{N/2}f(1/z)$ より、両辺に $z^{N/2}$ を掛けて $f(z) = z^N f(1/z)$ が成り立つ。

[2] 十分性（ $\impliedby$ ）すべての $z \neq 0$ に対し $f(z) = z^N f(1/z)$ が成り立つとする。両辺に $z^{-N/2}$ を掛けると、

z^{-N/2}f(z) = z^{N/2}f(1/z)

すなわち $E[z^{X - N/2}] = E[z^{-(X - N/2)}]$ が成り立つため、中央値に関して対称である。

[1], [2] より、題意は示された。 $\blacksquare$

(2)

合計得点 $X$ が中央値に関して対称であるとき， $m \le 3$ であることを示せ。

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コイン $A$ の確率を $P(A=0) = \dfrac{a_0}{K_A}, \ P(A=1) = \dfrac{a_1}{K_A}$ （ $a_0, a_1 \in \{1, \dots, 9\}, \ a_0 \neq a_1, \ K_A = a_0 + a_1$ ）とし，サイコロ $B$ の確率を $P(B=j) = \dfrac{b_j}{K_B}$ （ $j = 0, 1, \dots, m, \ b_j \in \{0, \dots, 9\}, \ b_0 \neq 0, \ b_m \neq 0, \ K_B = \sum b_j$ ）とする。条件より， $b_0, b_1, \dots, b_m$ はすべて互いに相異なる。コイン $A$ とサイコロ $B$ は独立であるから， $N = m + 1$ として

f(z) = E\left[z^{A+B}\right] = E\left[z^A\right] E\left[z^B\right] = \frac{1}{K_A K_B} (a_1 z + a_0) \sum_{j=0}^{m} b_j z^j

積の多項式 $(a_1 z + a_0) \sum_{j=0}^{m} b_j z^j = \sum_{k=0}^{m+1} c_k z^k$ の係数は

c_0 = a_0 b_0, \quad c_k = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} \ (1 \le k \le m), \quad c_{m+1} = a_1 b_m

で与えられ，繰り上がりがないことから各係数は $0 \le c_k \le 9$ を満たす。また，(1) より $X$ が対称であるための条件は

c_k = c_{m+1-k} \quad (k = 0, 1, \dots, m+1)

が成り立つことである。

［1］　各数字の上限評価（ $b_j \le 4$ の証明）任意の $j \in \{0, 1, \dots, m\}$ に対し，係数の非負性と上限 $c_k \le 9$ より，

a_0 b_j \le c_j \le 9 \quad \text{かつ} \quad a_1 b_j \le c_{j+1} \le 9

が成り立つ。ここで $a_0, a_1 \in \{1, \dots, 9\}$ かつ $a_0 \neq a_1$ より， $\max(a_0, a_1) \ge 2$ である。したがって，すべての $j$ において

2 b_j \le \max(a_0, a_1) b_j \le 9 \implies b_j \le \frac{9}{2}

$b_j$ は整数であるから，すべての $j \in \{0, 1, \dots, m\}$ について

b_j \le 4

すなわち，サイコロの確率比 $b_j$ が取り得る値は $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ の高々 $5$ 通りに限られる。

面数の上限評価（ $m \le 4$ の証明）サイコロの各目の値 $b_0, b_1, \dots, b_m$ は $m+1$ 個すべて互いに異なる。取り得る値が $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ の $5$ 個しかないため，鳩の巣原理より

m + 1 \le 5 \implies m \le 4

が成り立つ。

［2］　次に， $m = 4$ は成り立たないことを示す。いま， $m = 4$ と仮定する。このとき $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4$ は $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ の並べ替えである。 $b_j$ の中に $3$ や $4$ が含まれるため，

a_0 \cdot 4 \le 9 \implies a_0 \le 2 \quad \text{かつ} \quad a_1 \cdot 4 \le 9 \implies a_1 \le 2

$a_0 \neq a_1$ かつ $a_0, a_1 \ge 1$ より， $(a_0, a_1)$ は $(2, 1)$ または $(1, 2)$ に限られる。対称性の条件 $c_0 = c_5, \ c_1 = c_4, \ c_2 = c_3$ を書き下すと，

\begin{cases} a_0 b_0 = a_1 b_4 & \cdots \text{①} \\ a_0 b_1 + a_1 b_0 = a_0 b_4 + a_1 b_3 & \cdots \text{②} \\ a_0 b_2 + a_1 b_1 = a_0 b_3 + a_1 b_2 & \cdots \text{③} \end{cases}

Ⅰ） $(a_0, a_1) = (2, 1)$ のとき

①より $2b_0 = b_4$ 。 $b_0, b_4 \in \{1, 2, 3, 4\}$ （両端非ゼロ）より， $(b_0, b_4) = (1, 2)$ または $(2, 4)$ 。

ⅰ） $(b_0, b_4) = (1, 2)$ のとき

残りは $\{b_1, b_2, b_3\} = \{0, 3, 4\}$ 。 ②より $2b_1 + 1 = 4 + b_3 \implies 2b_1 - b_3 = 3$ 。これを満たすのは $(b_1, b_3) = (3, 3)$ のみだが， $b_1 \neq b_3$ に反し不適。

ⅱ） $(b_0, b_4) = (2, 4)$ のとき

残りは $\{b_1, b_2, b_3\} = \{0, 1, 3\}$ 。 ②より $2b_1 + 2 = 8 + b_3 \implies 2b_1 - b_3 = 6$ 。 $\{0, 1, 3\}$ の中にこれを満たす組は存在せず不適。

Ⅱ） $(a_0, a_1) = (1, 2)$ のとき

同様に①より $b_0 = 2b_4$ となり， $(a_0, a_1) = (2, 1)$ の場合と左右反転の対称性から同様に解は存在しない。

したがって， $m = 4$ となるサイコロは存在しない。

以上，［1］，［2］より， $m \le 4$ かつ $m \neq 4$ であるから，

m \le 3

である。 $\blacksquare$