周期 $p$ の連続関数 $f(x)$ が $f(x+p) = f(x) + 2\pi$ を満たしているとする。

⑴　$g(x) = f(x) - \dfrac{2\pi}{p}x$ が周期 $p$ の周期関数であることを示せ。

⑵　すべての実数 $x$ で $m \leqq \left|g(x)\right| \leqq M$ をみたすような定数 $m$，$M$ が存在することを示せ。

⑶　異なる $2$ つの定数 $p_1$，$p_2$ に対して，関係式 $f(x+p) = f(x) + 2\pi$ を満たす関数をそれぞれ $f_1(x), f_2(x)$ とおく。

を満たす数列 $x_N$ について，極限

を求めよ。

模範解答

⑴　$g(x) = f(x) - \dfrac{2\pi}{p}x$ において，$x$ を $x+p$ に置き換えると，

がすべての実数 $x$ について成り立つ。 したがって，$g(x)$ は周期 $p$ の周期関数である。$\blacksquare$

⑵　$f(x)$ は連続関数であり，一次関数 $\dfrac{2\pi}{p}x$ も連続関数であるから，その差である $g(x)$ も連続関数である。 したがって，その絶対値をとった関数 $|g(x)|$ も連続関数である。

閉区間 $[0, p]$ において，連続関数の最大値・最小値の定理により，$|g(x)|$ はこの区間内で必ず最大値および最小値をとる。この区間における $|g(x)|$ の最小値を $m$，最大値を $M$ とおく（$0 \leqq m \leqq M$）。

ここで，⑴ より $g(x)$ は周期 $p$ の周期関数であるから，$|g(x)|$ も周期 $p$ の周期関数である。 任意の実数 $x$ に対し，ある整数 $k$ を選ぶことで $x - kp \in [0, p]$ とすることができ，

が成り立つ。したがって，全実数における $|g(x)|$ の値域は閉区間 $[0, p]$ における値域と一致する。

ゆえに，すべての実数 $x$ に対して

を満たす定数 $m, M$ が存在する。$\blacksquare$

⑶　⑴ より，$g_1(x) = f_1(x) - \dfrac{2\pi}{p_1}x$ は周期 $p_1$ の周期関数，$g_2(x) = f_2(x) - \dfrac{2\pi}{p_2}x$ は周期 $p_2$ の周期関数である。 これらを $f_1(x), f_2(x)$ について解くと，

と表せる。与えられた方程式 $f_1(x_N) - f_2(x_N) = 2\pi N$ に代入すると，

となる。$p_1 \neq p_2$ より $\dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_2} \neq 0$ であるから，$x_N$ について整理すると，

両辺を $N \left( \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_2} \right)$ で除すると，

が得られる。

ここで，⑵ より各関数についてある定数 $M_1, M_2$ が存在して，すべての実数 $x$ で $|g_1(x)| \leqq M_1, \, |g_2(x)| \leqq M_2$ が成り立つ。三角不等式より，

である。定数 $M = M_1 + M_2$ および $K = 2\pi \left| \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_2} \right| > 0$ とおくと，

が成り立つ。$N \to \infty$ のとき $\dfrac{M}{K N} \to 0$ であるから，はさみうちの原理より，

である。

したがって，求める極限は

である。