1-1-2. 加速度

Acceleration

加速度

定義

時間 $\Delta t$ あたりの速度の変化が $\Delta v$ であるような等加速度直線運動をする物体の加速度 $a$ は次のように表す。

a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

説明

「加速度」とは「単位時間あたりの速度の変化」のことである。時間 $\Delta t$ の間に速度が $\Delta v$ だけ変化したとき，単位時間あたりに変化する速度，すなわち加速度 $a$ を求めることを考える。

このとき，次の比の式が成り立つ。

\Delta t : \Delta v = 1 : a

数学公式により内項と外項の積は等しいから，

a \cdot \Delta t = \Delta v

両辺を $\Delta t$ で割ることで，定義通りの式が導かれる。

a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}

瞬間の加速度

公式

速度と加速度

物体の速度が $v$ のときの瞬間の加速度 $a$ は，そのときの時刻 $t$ を用いて次のように表す。

a = \dfrac{dv}{dt}

位置と加速度

物体の原点からの位置が $x$ のときの瞬間の加速度 $a$ は，そのときの時刻 $t$ を用いて次のように表す。

a = \dfrac{d^2x}{dt^2}

時間 1.000 秒

平均の加速度

瞬間の加速度

を限りなくに近づけると、平均の加速度（2点を通る直線の傾き）は、その瞬間の接線の傾きに収束する。

導出

速度と加速度

時刻 $t$ における物体の速度を $t$ の関数として $v(t)$ と表すとき，時刻 $t+h \; (h>0)$ における速度は $v(t+h)$ である。時刻 $t$ から $t+h$ までの物体の平均の加速度 $\overline{a}$ は

\overline{a} = \dfrac{v(t+h) - v(t)}{(t+h) - t}

ここで時刻 $t$ における瞬間の加速度を求めるには $h$ を限りなく $0$ に近づけることを考えればよい。これは導関数の定義そのものに他ならない。したがって

a = \lim_{h \to 0} \dfrac{v(t+h) - v(t)}{h} = \dfrac{dv}{dt}

位置と加速度

加速度 $a$ はそのときの速度 $v$ と時刻 $t$ を用いて $a=\dfrac{dv}{dt}$ で求められる。一方，速度 $v$ はそのときの位置 $x$ と時刻 $t$ を用いて $v=\dfrac{dx}{dt}$ で求められるから

a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}

加速度ベクトル

公式

速度ベクトルと加速度ベクトル

物体の速度ベクトルが $\boldsymbol{v}$ のときの加速度ベクトル $\boldsymbol{a}$ は，そのときの時刻 $t$ を用いて次のように表す。

\boldsymbol{a} = \dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}

位置ベクトルと加速度ベクトル

物体の位置ベクトルが $\boldsymbol{r}$ のときの加速度ベクトル $\boldsymbol{a}$ は，そのときの時刻 $t$ を用いて次のように表す。

\boldsymbol{a} = \dfrac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}

導出

速度ベクトルと加速度ベクトル

時間 $\Delta t$ だけ経過して物体の速度変化が $\Delta\boldsymbol{v}$ のとき，加速度ベクトルは $\dfrac{\Delta\boldsymbol{v}}{\Delta t}$ で求められるから，時刻 $t$ における瞬間の加速度ベクトルは $\Delta t$ を限りなく $0$ に近づけることを考えればよい。これは導関数の定義そのものだから

\boldsymbol{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta\boldsymbol{v}}{\Delta t} = \dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}

位置ベクトルと加速度ベクトル

加速度ベクトル $\boldsymbol{a}$ はそのときの速度ベクトル $\boldsymbol{v}$ と時刻 $t$ を用いて $\boldsymbol{a}=\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}$ で求められる。一方，速度ベクトル $\boldsymbol{v}$ はそのときの位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ と時刻 $t$ を用いて $\boldsymbol{v}=\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}$ で求められるから

\boldsymbol{a} = \dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \dfrac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}

等加速度直線運動

等速直線運動

公式

等速直線運動する物体の加速度 $a$ は $0$ で一定。

a = 0

導出

速度の増減はなく，速度変化は $0$ 。加速度 $a$ は $\dfrac{dv}{dt}$ で求められるから

a = \dfrac{dv}{dt} = 0

等加速度直線運動する物体の速度

公式

等加速度 $a$ ，初速 $v_0$ で等加速度直線運動する物体の，時刻 $t$ における速度 $v$ は次のように求める。

v = at + v_0

導出

加速度 $a$ は速度 $v$ を用いて $a=\dfrac{dv}{dt}$ 。これは変数分離形だから $C$ を積分定数として

\begin{aligned} \int dv &= \int a \, dt \\ v &= at + C \end{aligned}

ここで $C$ は $t=0$ のときにおける速度，すなわち初速度を表すから $C=v_0$ 。ゆえに

v = at + v_0

等加速度直線運動する物体の位置

公式

等加速度 $a$ ，初速 $v_0$ で初期位置 $x_0$ から等加速度直線運動する物体の，時刻 $t$ における位置 $x$ は次のように求める。

x = \dfrac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0

導出

解法1

速度 $v$ は位置 $x$ を用いて $v=\dfrac{dx}{dt}$ と表せ， $v=at+v_0$ より

at + v_0 = \dfrac{dx}{dt}

これは変数分離形だから $C$ を積分定数として

\int dx = \int (at + v_0) \, dt\\ x = \dfrac{1}{2}at^2 + v_0t + C

ここで $C$ は $t=0$ のときにおける位置，すなわち初期位置を表すから $C=x_0$ 。ゆえに

x = \dfrac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0

解法2

加速度 $a$ は位置 $x$ とそのときの時刻 $t$ を用いて $a=\dfrac{d^2x}{dt^2}$ と表せる。ここで $\dfrac{dx}{dt}=y$ とおくと

\dfrac{d^2x}{dt^2} = \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} = y \dfrac{dy}{dx}

$a=y\dfrac{dy}{dx}$ は変数分離形だから， $a$ が $0$ でない（ $a \neq 0$ ）場合に注意して $C$ を積分定数とすると

\begin{aligned} \int \,dx &= \int \dfrac{y}{a} \, dy \\ x &= \dfrac{1}{2a}y^2 + C \end{aligned}

ここで $y=\dfrac{dx}{dt}$ であり，等加速度直線運動の速度の式 $y=at+v_0$ より， $t=0$ のとき $y=v_0$ ， $x=x_0$ である。したがって $C=-\dfrac{{v_0}^2}{2a}+x_0$ から

\begin{aligned} x &= \dfrac{1}{2a}(at+v_0)^2 - \dfrac{{v_0}^2}{2a} + x_0 \\ &= \dfrac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0 \end{aligned}

一方， $a=0$ のとき，物体は速度が変化しない等速直線運動を行う。すなわち $y = \dfrac{dx}{dt} = v_0$ （一定）となるから，両辺を $t$ で積分し， $C'$ を積分定数とすると

x = \int v_0 \, dt = v_0 t + C'

$t=0$ のとき $x=x_0$ であるから $C'=x_0$ となり，

x = v_0 t + x_0

が導かれる。これは，先ほど求めた式 $x = \dfrac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0$ に $a=0$ を代入したものと一致する。したがって，得られた式は $a=0$ の場合も含めて常に成り立つ。

等加速度直線運動の速度と変位

公式

ある直線上を等加速度 $a$ で運動する物体の，初期位置 $x_0$ における速さを $v_0$ ，位置 $x$ における速さを $v$ とすると次の式が成り立つ。

v^2 - {v_0}^2 = 2a(x - x_0)

導出

時刻 $t$ における物体の位置 $x$ と速度 $v$ は，それぞれ次のように表される。

\begin{aligned} x &= \dfrac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0 \quad \dots \text{①} \\ v &= at + v_0 \quad \dots \text{②} \end{aligned}

まず， $a \neq 0$ の場合を考える。②式より $at = v - v_0$ であり，両辺を $a$ で割ることで $t = \dfrac{v - v_0}{a}$ が得られる。これを①式に代入すると，

\begin{aligned} x - x_0 &= \dfrac{1}{2}a \left( \dfrac{v - v_0}{a} \right)^2 + v_0 \left( \dfrac{v - v_0}{a} \right) \\ &= \dfrac{(v - v_0)^2}{2a} + \dfrac{2v_0(v - v_0)}{2a} \\ &= \dfrac{v^2 - 2vv_0 + {v_0}^2 + 2vv_0 - 2{v_0}^2}{2a} \\ &= \dfrac{v^2 - {v_0}^2}{2a} \end{aligned}

この式の分母を払うことで，目的の式が導かれる。

v^2 - {v_0}^2 = 2a(x - x_0)

次に， $a = 0$ の場合を考える。このとき物体は等速直線運動を行うため，速度は常に一定（ $v = v_0$ ）である。したがって，左辺は $v^2 - {v_0}^2 = {v_0}^2 - {v_0}^2 = 0$ となる。一方，右辺も $a = 0$ を代入することで $2 \cdot 0 \cdot (x - x_0) = 0$ となる。よって，左辺と右辺がともに $0$ となり， $a = 0$ のときもこの式は矛盾なく成り立つ。

以上のことから，この式は加速度 $a$ が $0$ であるか否かに関わらず，等加速度直線運動において一般に成り立つ関係式である。

等加速度運動の速度と変位（ベクトル表示）

公式

一定の加速度ベクトル $\boldsymbol{a}$ で運動する物体の，初期位置ベクトル $\boldsymbol{x}_0$ における速度ベクトルを $\boldsymbol{v}_0$ ，位置ベクトル $\boldsymbol{x}$ における速度を $\boldsymbol{v}$ とすると，次の関係式が成り立つ。

|\boldsymbol{v}|^2 - |\boldsymbol{v}_0|^2 = 2\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0)

導出

速度ベクトルの大きさの2乗 $|\boldsymbol{v}|^2$ ，すなわち内積 $\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}$ の時間変化を考える。ベクトルの内積に対する微分の積の公式を用いると，

\dfrac{d}{dt}(|\boldsymbol{v}|^2) = \dfrac{d}{dt}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}) = \dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} \cdot \boldsymbol{v} + \boldsymbol{v} \cdot \dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} = 2\boldsymbol{v} \cdot \dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}

加速度 $\boldsymbol{a}$ は速度 $\boldsymbol{v}$ の時間微分であるから， $\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{a}$ を代入すると，

\dfrac{d}{dt}(|\boldsymbol{v}|^2) = 2\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a}

この式の両辺を時刻 $0$ から $t$ まで時間積分する。

\int_0^t \dfrac{d}{dt}(|\boldsymbol{v}|^2) \,dt = \int_0^t 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{v} \,dt

左辺は定積分の基本定理より $|\boldsymbol{v}|^2 - |\boldsymbol{v}_0|^2$ となる。右辺については， $\boldsymbol{a}$ が定数ベクトル（等加速度）であることを利用して積分の外に出し，さらに速度が位置の時間微分 $\boldsymbol{v} = \dfrac{d\boldsymbol{x}}{dt}$ であることを用いると，

\begin{aligned} |\boldsymbol{v}|^2 - |\boldsymbol{v}_0|^2 &= 2\boldsymbol{a} \cdot \int_0^t \boldsymbol{v} \,dt \\ &= 2\boldsymbol{a} \cdot \int_{\boldsymbol{x}_0}^{\boldsymbol{x}} \,d\boldsymbol{x} \\ &= 2\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0) \end{aligned}

これにより，多次元空間においても速度・加速度・変位の間に成り立つ関係式が導かれる。

説明

$|\boldsymbol{v}|^2$ の時間微分を計算すると，前述の通り $2\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a}$ という形が現れる。

\dfrac{d}{dt}(|\boldsymbol{v}|^2) = 2 \underbrace{\boldsymbol{v}}_{\text{動いている方向}} \cdot \underbrace{\boldsymbol{a}}_{\text{加速する方向}}

この内積 $\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a}$ は，「物体が進もうとしている方向にどれだけ効率よく加速の力が加わっているか」を表すのに非常に適した数学の手法である。加速の向きと進む向きが一致していれば，内積は正となり，スピードの2乗，すなわち大きさや勢いは増加する。一方で加速の向きが垂直であれば（円運動など），内積は $0$ となり，スピードの2乗，すなわち大きさや勢いは変化しない。

これは，物理学においてエネルギー，すなわち

\dfrac{1}{2}mv^2

という概念が登場する数学的な出発点でもある。与式

|\boldsymbol{v}|^2 - |\boldsymbol{v}_0|^2 = 2\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0)

の両辺に $\dfrac{1}{2}m$ をかけ，先に学んだ運動方程式 $\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}$ を用いると次のように式変形することができる。

\dfrac{1}{2}m|\boldsymbol{v}|^2 - \dfrac{1}{2}m|\boldsymbol{v}_0|^2 = m\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0) = \boldsymbol{F} \cdot (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0)

この式の左辺は「運動エネルギーの変化量」，右辺は「力が物体にした仕事（力と変位の内積）」を表し，本質的には仕事エネルギーの原理そのものであることを示す。

1次元のスカラー表示において，加速度 $a$ や変位 $x-x_0$ の符号（プラス・マイナス）に注意することは重要である。内積 $\boldsymbol{a} \cdot \Delta \boldsymbol{x}$ は，加速度の向きと移動の向きが同じであれば正の値をとり速度（ないしエネルギー）を増加させ，逆向きであれば負の値をとって速度を減少させる。ベクトルと内積の視点を持つことで，平面運動や空間運動においても，この式を「エネルギーの収支バランスを記述する式」として一貫して理解することが可能になる。