1-2-4. 摩擦力

Frictional Force

摩擦係数とつり合い

公式

静止摩擦係数

粗い水平面上に置かれた質量 mm の物体に、水平方向に力 ff を加えたとき物体が滑り始めたとする。重力加速度を gg とするとき、面と物体の間の静止摩擦係数 μ\mu は次のように求める。

μ=fmg\mu = \dfrac{f}{mg}
導出

物体が「滑り始めた」ということは、引く力 ff が最大静止摩擦力 μN\mu N にちょうど達した瞬間であることを意味する。 水平方向および鉛直方向の力のつり合いの式を立てると、

{f−μN=0（水平方向）N−mg=0（鉛直方向）\begin{cases} f - \mu N = 0 & \text{（水平方向）} \\ N - mg = 0 & \text{（鉛直方向）} \end{cases}

鉛直方向の式より垂直抗力は N=mgN = mg である。これを水平方向の式に代入すると、

f−μmg=0  ⟹  μ=fmgf - \mu mg = 0 \implies \mu = \dfrac{f}{mg}

が導かれる。

公式

水平摩擦面と角度

粗い水平面上に置かれた質量 mm の物体に、水平から角度 θ\theta だけ上向きに力 ff を加えたとき物体が滑り始めたとする。重力加速度を gg とするとき、静止摩擦係数 μ\mu は次のように求める。

μ=fcos⁡θmg−fsin⁡θ\mu = \dfrac{f\cos\theta}{mg - f\sin\theta}
導出

引く力 ff を水平成分 fcos⁡θf\cos\theta と鉛直成分 fsin⁡θf\sin\theta に分解する。 水平方向および鉛直方向の力のつり合いの式を立てると、

{fcos⁡θ−μN=0（水平方向）N+fsin⁡θ−mg=0（鉛直方向）\begin{cases} f\cos\theta - \mu N = 0 & \text{（水平方向）} \\ N + f\sin\theta - mg = 0 & \text{（鉛直方向）} \end{cases}

鉛直方向の式より、垂直抗力は N=mg−fsin⁡θN = mg - f\sin\theta となる（斜め上に引くことで面を押す力が弱まる）。 これを水平方向の式に代入すると、

fcos⁡θ−μ(mg−fsin⁡θ)=0  ⟹  μ=fcos⁡θmg−fsin⁡θf\cos\theta - \mu(mg - f\sin\theta) = 0 \implies \mu = \dfrac{f\cos\theta}{mg - f\sin\theta}

が導かれる。

摩擦角と制動距離

公式

摩擦角

質量 mm の物体を粗い板の上に置き、板を少しずつ傾けていったとき、角度 θC\theta_C のところで物体が滑り始めた。この限界の角度 θC\theta_C を摩擦角といい、最大静止摩擦係数 μ\mu との間に次の関係が成り立つ。

μ=tan⁡θC\mu = \tan\theta_C
導出

板の傾きが θC\theta_C のとき、物体は滑り出す直前（最大静止摩擦力 μN\mu N がはたらく状態）である。 斜面に平行な xx 軸、垂直な yy 軸をとって力のつり合いの式を立てると、

{mgsin⁡θC−μN=0（斜面平行方向）N−mgcos⁡θC=0（斜面垂直方向）\begin{cases} mg\sin\theta_C - \mu N = 0 & \text{（斜面平行方向）} \\ N - mg\cos\theta_C = 0 & \text{（斜面垂直方向）} \end{cases}

垂直方向の式より N=mgcos⁡θCN = mg\cos\theta_C。これを平行方向の式に代入すると、

mgsin⁡θC−μ(mgcos⁡θC)=0mg\sin\theta_C - \mu(mg\cos\theta_C) = 0

両辺を mgcos⁡θCmg\cos\theta_C で割ることで、μ=sin⁡θCcos⁡θC=tan⁡θC\mu = \dfrac{\sin\theta_C}{\cos\theta_C} = \tan\theta_C が導出される。

説明

摩擦力のグラフと遷移 板の角度 θ\theta を 00 から徐々に大きくしていくときの、物体にはたらく摩擦力 RR の変化を考える。

  1. 0≤θ≤θC0 \le \theta \le \theta_C の範囲： 物体は静止しているため、摩擦力 RR は重力の斜面成分とつり合う静止摩擦力としてはたらく。 R=mgsin⁡θR = mg\sin\theta
  2. θC<θ≤π2\theta_C < \theta \le \dfrac{\pi}{2} の範囲： 物体は滑り出すため、摩擦力 RR は動摩擦力に切り替わる。動摩擦係数を μ′\mu' とすると、 R=μ′N=μ′mgcos⁡θR = \mu' N = \mu' mg\cos\theta グラフに描くと、θ=θC\theta = \theta_C の瞬間に摩擦力が最大値（ μmgcos⁡θC\mu mg\cos\theta_C ）に達し、滑り出した直後に動摩擦力（ μ′mgcos⁡θC\mu' mg\cos\theta_C ）へと不連続に値が落ちる。その後は cos⁡θ\cos\theta のカーブに従って減少していく。
公式

制動距離

粗い水平面上において、質量 mm の物体に初速 v0v_0 を与えてすべらせた。動摩擦係数を μ′\mu'、重力加速度を gg とするとき、物体がすべり出してから止まるまでの制動距離 xx は次のように求める。

x=v022μ′gx = \dfrac{{v_0}^2}{2\mu' g}
導出

運動中の物体の加速度を aa、垂直抗力を NN とし、進行方向を正として運動方程式を立てる。

{ma=−μ′N（水平方向）0=N−mg（鉛直方向）\begin{cases} ma = -\mu' N & \text{（水平方向）} \\ 0 = N - mg & \text{（鉛直方向）} \end{cases}

これより N=mgN = mg となり、加速度は a=−μ′ga = -\mu' g と求まる。 等加速度直線運動の「時間を消去した公式」 v2−v02=2axv^2 - {v_0}^2 = 2ax において、停止した瞬間の速度は v=0v=0 であるから、

02−v02=2(−μ′g)x  ⟹  x=v022μ′g0^2 - {v_0}^2 = 2(-\mu' g)x \implies x = \dfrac{{v_0}^2}{2\mu' g}

が導かれる。

2物体間の摩擦（一体となって動く条件）

公式

2物体間の摩擦

なめらかな水平面上に置かれた質量 MM の台の上に、質量 mm の物体が乗っている。台を水平に力 ff で引くとき、台と物体の間の最大静止摩擦係数を μ\mu、動摩擦係数を μ′\mu' とする。

物体と台が一体となって動く場合（ 0≤f≤μ(M+m)g0 \le f \le \mu (M+m)g ）

物体と台は同じ加速度 aa で運動する。

a=fM+ma = \dfrac{f}{M+m}物体が台の上をすべる場合（ f>μ(M+m)gf > \mu (M+m)g ）

物体の加速度 ama_m と台の加速度 aMa_M はそれぞれ異なる値となる。

{am=μ′gaM=f−μ′mgM\begin{cases} a_m = \mu' g \\ a_M = \dfrac{f - \mu' mg}{M} \end{cases}
導出

物体と台の間にはたらく摩擦力を FF とする。物体は台から受ける摩擦力 FF によって前方に引っ張られ、台はその反作用として後方に FF の力を受ける。それぞれの運動方程式は次のようになる。

{mam=F（物体）MaM=f−F（台）\begin{cases} m a_m = F & \text{（物体）} \\ M a_M = f - F & \text{（台）} \end{cases}一体となって動くための条件

物体が台の上で滑らないとき、両者の加速度は等しい（ am=aM=aa_m = a_M = a ）。2つの式を足し合わせると、

(M+m)a=f  ⟹  a=fM+m(M + m)a = f \implies a = \dfrac{f}{M+m}

このとき、物体にはたらいている静止摩擦力 FF は、物体の運動方程式より

F=ma=mM+mfF = m a = \dfrac{m}{M+m}f

となる。物体が滑らないための条件は、この FF が最大静止摩擦力 μN\mu N （ここでは N=mgN=mg）を超えないことである。

F≤μmg  ⟹  mM+mf≤μmgF \le \mu mg \implies \dfrac{m}{M+m}f \le \mu mg

これを ff について解くと、一体となって動く限界の力は f≤μ(M+m)gf \le \mu(M+m)g と導かれる。

滑りながら動く場合

引く力 ff が限界 μ(M+m)g\mu(M+m)g を超えたとき、物体は台の上を滑るため、摩擦力 FF は動摩擦力に切り替わる。

F=μ′N=μ′mgF = \mu' N = \mu' mg

これを最初の運動方程式に代入して、それぞれの加速度を求める。

{mam=μ′mg  ⟹  am=μ′gMaM=f−μ′mg  ⟹  aM=f−μ′mgM\begin{cases} m a_m = \mu' mg \implies a_m = \mu' g \\ M a_M = f - \mu' mg \implies a_M = \dfrac{f - \mu' mg}{M} \end{cases}
説明

「滑るか滑らないか」の判定プロセス 2物体が重なっている問題では、最初から「滑る」か「一体となるか」が分からないことが多い。この導出で示したように、**「まずは一体となって動く（同じ加速度 aa を持つ）と仮定して、そのために必要な摩擦力 FF を逆算する」**というアプローチが鉄則である。 逆算した FF が最大静止摩擦力 μN\mu N より小さければ仮定は正しく、大きければ「その摩擦力は出せない」ため仮定が崩れ、滑っている（ F=μ′NF = \mu' N ）と判定できる。この背理法的な論理展開は、摩擦力を扱う上で最も重要かつ汎用性の高い物理的思考法である。