1-2-3. 運動の法則

The Laws of Motion

ニュートンの運動の法則

定義

ニュートンの運動の法則

運動の第一法則（慣性の法則）

物体に外力がはたらかないとき，またははたらいている力がつり合っているとき，静止している物体は静止を続け，動いている物体は等速直線運動を続ける。

運動の第二法則（運動の法則）

質量 $m$ の物体に加えている合力 $\boldsymbol{F}$ と，そのときの加速度ベクトル $\boldsymbol{a}$ の間には次の関係が成り立つ。

\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}

運動の第三法則（作用・反作用の法則）

ある物体Aが他方の物体Bに力 $\boldsymbol{F}_{\mathrm{AB}}$ をはたらかせるとき，物体Bは物体Aに同じ大きさで逆向きの力 $\boldsymbol{F}_{\mathrm{BA}}$ を及ぼす。

\boldsymbol{F}_{\mathrm{AB}} = -\boldsymbol{F}_{\mathrm{BA}}

説明

3つの法則がなす力学の体系 第一法則は，一見すると「 $\boldsymbol{F}=\mathbf{0}$ ならば $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ である」という第二法則の特殊ケースに過ぎないように思える。しかし，物理学における第一法則の真の役割は，**「慣性系（加速度を持たず，運動の法則がそのまま成り立つ座標系）が存在することの宣言」**にある。また，第三法則は物体間の「力の授受のルール」を定めている。これにより，複数の物体を「1つのシステム（系）」としてまとめたとき，内部で及ぼし合う力（内力）が完全に相殺され，系の運動が「外力」のみによって決定されるという，運動量保存則の強力な基盤となる。

束縛条件を伴う運動

公式

ひもでつながった2物体

質量 $m_{\mathrm{A}}$ の物体Aと質量 $m_{\mathrm{B}}$ の物体Bを軽くて伸びない糸でつなぎ，物体Aを大きさ $F$ の力で鉛直上向きに引く。重力加速度を $g$ とするとき，全体の加速度 $a$ と糸の張力 $T$ は次のように求める。

\begin{cases} a = \dfrac{F}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}} - g \\ T = \dfrac{m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}} F \end{cases}

導出

鉛直上向きを正の向きとする。物体Aの下端にはたらく張力を $T_{\mathrm{A}}$ ，物体Bの上端にはたらく張力を $T_{\mathrm{B}}$ とする。

軽い糸の張力がどこでも等しいことの証明

質量 $m_0$ ，長さ $L$ の糸を考え，上部 $l_{\mathrm{high}}$ と下部 $l_{\mathrm{low}}$ で分割した任意の点における張力を $T$ とする。上部と下部の質量はそれぞれ比率に応じて配分されるため，Aと糸の上部をまとめた運動方程式と，Bと糸の下部をまとめた運動方程式は次のように立てられる。

\begin{cases} \left( m_{\mathrm{A}} + \dfrac{l_{\mathrm{high}}}{L}m_0 \right)a = F - \left( m_{\mathrm{A}} + \dfrac{l_{\mathrm{high}}}{L}m_0 \right)g - T \\ \left( m_{\mathrm{B}} + \dfrac{l_{\mathrm{low}}}{L}m_0 \right)a = T - \left( m_{\mathrm{B}} + \dfrac{l_{\mathrm{low}}}{L}m_0 \right)g \end{cases}

ここで，糸は「軽い（ $m_0 \to 0$ ）」とみなせるため，極限をとると $l_{\mathrm{high}}, l_{\mathrm{low}}$ の値（すなわち糸のどの位置か）に関わらず方程式から $m_0$ の項が消滅する。このとき作用反作用の法則により糸の両端が引く力は等しくなり， $T_{\mathrm{A}} = T_{\mathrm{B}} = T$ とおいて扱うことができる。

加速度と張力の計算

物体Aおよび物体Bに対する運動方程式はそれぞれ次のようになる。

\begin{cases} m_{\mathrm{A}} a = F - m_{\mathrm{A}} g - T \\ m_{\mathrm{B}} a = T - m_{\mathrm{B}} g \end{cases}

これら2式を足し合わせると，内力である張力 $T$ が相殺され，

(m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}})a = F - (m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}})g \implies a = \dfrac{F}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}} - g

が得られる。この $a$ を物体Bの運動方程式に代入して整理すると，

T = m_{\mathrm{B}}(a + g) = m_{\mathrm{B}} \left( \dfrac{F}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}} \right) = \dfrac{m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}} F

となり，張力の式が導出される。

公式

箱の中の物体

質量 $M$ の箱の中に質量 $m$ の物体を静かに置き，箱を大きさ $F$ の力で鉛直上向きに引き上げる。全体の加速度 $a$ と，物体が箱から受ける垂直抗力 $N$ は次のように求める。

\begin{cases} a = \dfrac{F}{M + m} - g \\ N = \dfrac{m}{M + m} F \end{cases}

導出

物体は箱から上向きの垂直抗力 $N$ を受け，作用反作用の法則により，箱は物体から下向きの力 $N$ を受ける。鉛直上向きを正としてそれぞれの運動方程式を立てると，

\begin{cases} m a = N - m g & \text{（物体）} \\ M a = F - N - M g & \text{（箱）} \end{cases}

両辺を足し合わせて内力 $N$ を消去すると，

(M + m)a = F - (M + m)g \implies a = \dfrac{F}{M + m} - g

これを物体の運動方程式に代入し， $N$ について解く。

N = m(a + g) = m \left( \dfrac{F}{M + m} \right) = \dfrac{m}{M + m} F

公式

引き上げられる滑車と相対運動

質量 $M$ の滑車に軽くて伸びない糸をかけ，両端に質量 $m_{\mathrm{A}}, m_{\mathrm{B}}$ の物体をつるす。この滑車を大きさ $F$ の力で鉛直上向きに引き上げる。滑車の加速度 $A$ と，糸の張力 $T$ は次のように求める。

\begin{cases} A = \dfrac{F}{M + \mu} - g \\ T = \dfrac{\mu}{2(M + \mu)} F \end{cases}

（ただし， $\mu = \dfrac{4m_{\mathrm{A}}m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}}$ は物体系の換算質量）

導出

鉛直上向きを正とし，滑車の座標を $X$ ，物体A, Bの座標を $x_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}}$ ，それぞれの加速度を $A, a_{\mathrm{A}}, a_{\mathrm{B}}$ とする。

幾何学的な束縛条件の微分

糸の長さが一定であるため，滑車の半径を $R$ として次の方程式が成り立つ。

(X - x_{\mathrm{A}}) + (X - x_{\mathrm{B}}) + \pi R = \text{const.} \implies 2X - x_{\mathrm{A}} - x_{\mathrm{B}} = \text{const.}

この両辺を時間 $t$ で2階微分すると，加速度に関する束縛条件が得られる。

2A = a_{\mathrm{A}} + a_{\mathrm{B}}

運動方程式の立式と連立

滑車には上向きに $F$ ，下向きに2つの張力 $2T$ と重力 $Mg$ がはたらく。これらを踏まえて3つの運動方程式を立てる。

\begin{cases} M A = F - 2T - Mg \\ m_{\mathrm{A}} a_{\mathrm{A}} = T - m_{\mathrm{A}} g \implies a_{\mathrm{A}} = \dfrac{T}{m_{\mathrm{A}}} - g \\ m_{\mathrm{B}} a_{\mathrm{B}} = T - m_{\mathrm{B}} g \implies a_{\mathrm{B}} = \dfrac{T}{m_{\mathrm{B}}} - g \end{cases}

$a_{\mathrm{A}}, a_{\mathrm{B}}$ を束縛条件の式に代入する。

2A = T \left( \dfrac{1}{m_{\mathrm{A}}} + \dfrac{1}{m_{\mathrm{B}}} \right) - 2g = T \dfrac{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}m_{\mathrm{B}}} - 2g

これを $T$ について解くと，

T = \dfrac{2m_{\mathrm{A}}m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}} (A + g)

ここで，滑車から見たAとBの等価的な質量を表す換算質量 $\mu = \dfrac{4m_{\mathrm{A}}m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}}$ を用いると， $2T = \mu(A + g)$ となる。これを滑車の運動方程式に代入する。

\begin{aligned} M A &= F - \mu(A + g) - Mg \\ (M + \mu)A &= F - (M + \mu)g \\ A &= \dfrac{F}{M + \mu} - g \end{aligned}

この $A$ を用いて張力 $T$ を求め直すと，

T = \dfrac{\mu}{2}(A + g) = \dfrac{\mu}{2(M + \mu)} F

となり，一般化された滑車の運動が完全に解き明かされる。

公式

斜面上の物体と束縛条件

固定された斜面上の物体

固定された傾き $\theta$ の斜面上を質量 $m$ の物体が滑り落ちるときの加速度の大きさ $a$ と垂直抗力 $N$ は，

a = g\sin\theta, \quad N = mg\cos\theta

動く斜面上の物体

なめらかな水平面上を自由に動く質量 $M$ の斜面（傾き $\theta$ ）の上を，質量 $m$ の物体が滑り落ちる。水平右向き（斜面が後退する向き）を $x$ 軸正，鉛直上向きを $y$ 軸正とする。物体の加速度ベクトル $\boldsymbol{a} = (a_x, a_y)$ ，斜面の加速度 $A$ ，垂直抗力 $N$ は次のように求める。

\begin{cases} a_x = \dfrac{Mg\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta} \\ a_y = -\dfrac{(M + m)g\sin^2\theta}{M + m\sin^2\theta} \\ A = -\dfrac{mg\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta} \\ N = \dfrac{Mmg\cos\theta}{M + m\sin^2\theta} \end{cases}

（※ここでは $y$ 軸下向きではなく上向きを正にとり，落下加速度としてマイナス符号を付している）

導出

「動く斜面」の問題は，座標系を傾けずに水平・鉛直のまま解くことで一般性を保ちつつ導出できる。

幾何学的な束縛条件

斜面の座標を $X$ ，物体の座標を $(x, y)$ とすると，物体が常に斜面上にあるための条件は，

y = -(x - X)\tan\theta

両辺を時間 $t$ で2階微分し，加速度の関係式を得る。

a_y = -(a_x - A)\tan\theta \quad \dots \text{①}

運動方程式の立式と連立

物体と斜面にそれぞれ運動方程式を立てる。

\begin{cases} m a_x = N\sin\theta \implies a_x = \dfrac{N\sin\theta}{m} \\ m a_y = N\cos\theta - mg \implies a_y = \dfrac{N\cos\theta}{m} - g \\ M A = -N\sin\theta \implies A = -\dfrac{N\sin\theta}{M} \end{cases}

これらを①式に代入して，内力である $N$ を求める。

\begin{aligned} \dfrac{N\cos\theta}{m} - g &= -\left( \dfrac{N\sin\theta}{m} + \dfrac{N\sin\theta}{M} \right) \tan\theta \\ g &= \dfrac{N\cos\theta}{m} + N\sin\theta \left( \dfrac{M + m}{Mm} \right) \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \\ mg\cos\theta &= N\cos^2\theta + N \left( \dfrac{M + m}{M} \right) \sin^2\theta \\ mg\cos\theta &= N \left( \dfrac{M\cos^2\theta + M\sin^2\theta + m\sin^2\theta}{M} \right) \\ mg\cos\theta &= N \left( \dfrac{M + m\sin^2\theta}{M} \right) \end{aligned}

ゆえに，垂直抗力 $N$ は

N = \dfrac{Mmg\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}

となる。これを各加速度の式に代入することで， $a_x, a_y, A$ がすべて導出される。（※ $M \to \infty$ の極限をとると，斜面が動かない「固定された斜面」の結果 $N = mg\cos\theta$ に完全に一致する）