2-1-1. 熱量

線膨張係数 $\alpha$ は，「元の長さ $l_0$ に対する，温度が $1\,^\circ\mathrm{C}$ あたりに固体の長さが変化する割合」として定義される。これを微分を用いて表現すると，

となる。これは変数分離形の微分方程式であるから，$dl = \alpha l_0 dt$ として両辺を積分する。積分定数を $C$ とすると，

初期条件として，$t=0$ のとき $l=l_0$ であるから，積分定数は $C=l_0$ と定まる。したがって，

が導かれる。

体膨張係数 $\beta$ も同様に，「元の体積 $V_0$ に対する，温度が $1\,^\circ\mathrm{C}$ あたりに固体の体積が変化する割合」として定義される。

これを積分し，$t=0$ のとき $V=V_0$ の初期条件を適用することで，

が導かれる。

温度 $0\,^\circ\mathrm{C}$ における固体の体積を $V_0$，そのときの辺の長さをそれぞれ $a_0, b_0, c_0$ とし，任意の温度 $t$ における体積を $V$，辺の長さをそれぞれ $a, b, c$ とする。 それぞれの辺は線膨張の式に従うため，

となる。したがって，温度 $t$ における体積 $V$ は，

ここで，線膨張係数 $\alpha$ は一般に非常に小さい値（約 $10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1}$ 程度）であるため，その2乗以上の項 $\alpha^2, \alpha^3$ は無視できるほど小さくなる。 この近似を用いると，

となる。これを体膨張の定義式 $V = V_0(1 + \beta t)$ と比較することで，$\beta \simeq 3\alpha$ という関係が導かれる。

条件より温度 $t$ と体積 $V$ の間に線形な関係があるとし，定数 $k$ と $C$ を用いて次のような一次関数の式を立てる。

この式において，定義の基準となる2つの状態（氷点と沸点）の値を代入することで係数を決定する。まず，$t = 0$ のとき $V = V_0$ であることから，

が得られる。次に，$t = 100$ のとき $V = V_{100}$ であることから，

が得られる。これらを元の一次関数の式に代入すると，任意の温度における体積の式が求まる。

この式を温度 $t$ について解くために，両辺から $V_0$ を引き，係数の逆数を掛ける。

これにより，物質の膨張の度合いを $0$ から $100$ の間の割合として数値化するセルシウス温度の定義式が導かれる。

熱力学という学問の入り口において，このセルシウス温度の定義を学ぶことには重要な意義がある。力学では物体の位置 $x$ を追跡したが，熱力学では目に見えない分子の熱運動の激しさを「温度」というマクロな指標で追跡しようと試みる。

セルシウス温度は，人類が熱という正体不明のエネルギーを数値化するために考案した「仮の目盛り」である。水という身近な物質の性質に依存しているため，一見すると物理学的な必然性が乏しいように感じられるかもしれない。しかし，様々な物質で温度を測る中で，科学者たちは「どの物質を使っても，温度を下げていくと体積がゼロに収束していく不思議な点（ $-273.15\,^\circ\mathrm{C}$ ）」が存在することを発見した。

この不格好な「 $-273.15$ 」という数値を原点へと平行移動させ，座標変換を施したものが後に学ぶ絶対温度 $T$ である。セルシウス温度という相対的な住所を整理し，エネルギーの本質に直結した絶対温度を採用することで，バラバラだった気体の性質は $PV=nRT$ というたった一つの美しい状態方程式へと統合されることになる。つまり，このセクションで学ぶ素朴な温度の定義は，熱力学における最も壮大な法則へと至るための推理の出発点なのである。

比熱 $c$ は，「単位質量（1kg）あたりの物質の熱容量」として定義される。したがって，全体の熱容量 $C$ を質量 $m$ で割ったものに等しい。

これを熱容量の定義式 $Q = C\Delta T$ に代入すると，$Q = mc\Delta T$ が導かれる。

モル比熱 $C_m$ は，「単位物質量（1mol）あたりの物質の熱容量」として定義される。したがって，全体の熱容量 $C$ を物質量 $n$ で割ったものに等しい。

これを熱容量の定義式 $Q = C\Delta T$ に代入すると，$Q = n C_m \Delta T$ が導かれる。

この法則は，エネルギー保存則の熱的な側面を述べたものである。熱はエネルギーの一形態であり，外部に逃げたり，外部から入ってきたりしない限り，系内部での総量は変わらない。 高温物体が熱運動のエネルギーを失い，そのエネルギーがそのまま低温物体の熱運動のエネルギーとして与えられる，というエネルギーの移動プロセスを数式化したものである。

高温の物体が失った熱量 $Q_{\text{out}}$ と，低温の水および熱量計が得た熱量 $Q_{\text{in}}$ は等しい。

$Q_{\text{out}} = Q_{\text{in}}$ の式を立てて $c_x$ について解くと，上の式が導かれる。

混合法による融解熱の測定 融解点 $T_{\text{melt}}$ にある質量 $m$ の固体（比熱は $c_s, c_l$）を，質量 $M$，温度 $T_M$ の液体（比熱 $c_M$）が入った熱量計（熱容量 $C$）に入れたところ，固体はすべて融解し，全体の温度が $T$ の液体となった。この固体の融解熱 $L$ は次のように求める。

（※ $T_{\text{m}}$ は固体の初期温度） これは，熱量計と液体が失った熱量から，固体自身の温度上昇と融解後の液体の温度上昇に使われた熱量を除いた残りが，すべて融解のために使われたことを意味する。