2-1-2. 仕事

圧力が体積 $V$ の関数 $P(V)$ として時々刻々と変化する場合，一定の圧力の式をそのまま用いることはできない。そこで，体積の変化を極めて小さな微小体積 $dV$ に分割して考える。

この微小な体積変化の間では，圧力 $P$ はほぼ一定であるとみなせるため，その間に気体がなす微小な仕事 $dW$ は，$dW = P dV$ と表せる。 体積 $V_1$ から $V_2$ に至るまでの全区間にわたって，これら無数の微小な仕事を足し合わせる（積分する）ことにより，全体の仕事が算出される。

幾何学的には，この積分値は $PV$ グラフ（圧力ー体積グラフ）において，状態変化を示す曲線と $V$ 軸の間の面積に相当する。

大学物理への視点：状態量とプロセス量

熱力学において，「仕事 $W$」と「熱量 $Q$」は，後のセクションで学ぶ「内部エネルギー $U$」や「温度 $T$」とは決定的に異なる性質を持っている。

温度や内部エネルギーは，ある瞬間の系の状態だけで値が一つに決まる「状態量」である。これに対し，仕事 $W$ はその状態に至るまでの「道筋（プロセス）」に依存して値が変化する「プロセス量」と呼ばれる。 例えば，$PV$ グラフ上の点Aから点Bへ変化させる際，圧力を高く保ったまま膨張させるのと，圧力を下げてから膨張させるのでは，グラフの下側の面積，すなわち気体が外部になす仕事の量は全く異なるものになる。

大学で学ぶ熱力学では，この違いを厳密に区別するため，状態量の微小変化には $dU$ のような記号を使い，仕事の微小変化には不完全微分であることを示す $d'W$ や $\delta W$ といった記号を使い分ける。仕事は物体の中に蓄えられているものではなく，状態が変化する過程で初めて現れる「エネルギーの移動形態」なのである。

ピストンとともに動く観測者の視点から考える。 ピストンの速度を $u$，分子の衝突前の速度を $v$ とすると，ピストンから見た分子の相対速度は $v - u$ である。

ピストンとの衝突が弾性衝突（はねかえり係数 $e=1$）であると仮定すると，ピストンから見た衝突後の相対速度は，向きが反転し $-(v - u)$ となる。 これを地上の静止系における速度 $v'$ に戻すと，相対速度にピストンの速度 $u$ を加えることで得られる。

ここでは分子の速さ（大きさ）の変化に注目するため，向きを考慮して整理すると，ピストンが遠ざかる場合（ $u > 0$ ）において，分子の速さは衝突後に $2u$ だけ減少することがわかる。 気体が膨張して外部に仕事をする際，分子は動く壁に跳ね返されるたびにエネルギーを失い，それがマクロな現象としては「温度の低下」として観測される。

仕事のミクロな正体

前節の「気体がする仕事 $W = P\Delta V$」は，シリンダー全体の体積変化というマクロな視点での記述であった。しかし，ミクロな視点で見れば，仕事とは「動いている壁に分子が衝突し，分子の運動エネルギーが壁（外部）へ受け渡されるプロセス」そのものである。

ピストンが外側へ動いているとき，衝突した分子は以前よりも遅い速度で跳ね返される。このとき，個々の分子が失った運動エネルギーの総和こそが，気体が外部へなした仕事 $W$ の正体である。 逆に，ピストンを急激に押し込む（断熱圧縮）と，分子は向かってくる壁によって加速され，運動エネルギーが増加する。これが「仕事をされることで温度が上がる」という現象の力学的なメカニズムである。熱力学における仕事は，単なる数式上の量ではなく，ミクロな力学とマクロな熱現象を繋ぐ物理的な必然性を持っている。