1-3-3. 位置エネルギー

Potential Energy

重力による位置エネルギー

公式

重力による位置エネルギー

鉛直上向きを正の向きとして yy 軸をとる。基準面（ y=0y=0 ）から高さ yy の位置にある質量 mm の物体が持つ，重力による位置エネルギー UU は次のように求める。 ただし，重力加速度の大きさを gg とする。

U=mgyU = mgy
導出

位置エネルギーとは，「基準点から現在の位置まで，物体を静かに（一定の速度で）移動させるために，外部から加える力（外力）がしなければならない仕事」として定義される。

質量 mm の物体を鉛直上向きにゆっくりと引き上げる場面を考える。物体を加速させずに一定の速度で動かすためには，物体にはたらく力が常につり合っている必要がある。 鉛直上向きにはたらく外力を FF，鉛直下向きにはたらく重力を mgmg とすると，力のつり合いの式は次のようになる。

0=F−mg  ⟹  F=mg0 = F - mg \implies F = mg

すなわち，重力に逆らって物体を持ち上げるためには，常に重力と同じ大きさ mgmg の上向きの外力 FF を加え続けなければならない。

この外力 FF が，基準面 y=0y=0 から高さ yy まで物体を移動させる間にする仕事 WW を計算する。仕事は力の空間積分 ∫Fdy\int F dy で求められるため，

W=∫0yF dy′=∫0ymg dy′=mg[y′]0y=mgyW = \int_0^y F \, dy' = \int_0^y mg \, dy' = mg \left[ y' \right]_0^y = mgy

（※積分変数として y′y' を用いた）

この外力がした仕事 WW は，物体の中にエネルギーとして蓄えられる。これが重力による位置エネルギー UU であり，U=mgyU = mgy が導出される。

説明

保存力とポテンシャルエネルギー 位置エネルギーは英語で Potential Energy（潜在的なエネルギー）と呼ばれる。物体が高い位置にあるとき，手を離せば重力によって加速され，その位置エネルギーが運動エネルギーへと変換される。すなわち「仕事をする潜在的な能力」を秘めている状態といえる。

位置エネルギーを定義できるのは，重力や後述する弾性力のように「移動の経路によらず，始点と終点の位置だけで仕事が決定される力（保存力）」に限られる。摩擦力や空気抵抗などの非保存力は，移動距離が長くなるほど負の仕事が増加するため，一意な「位置」の関数としてエネルギーを定義することができない。 数学的には，保存力 F\boldsymbol{F} と位置エネルギー UU の間には F=−∇U\boldsymbol{F} = -\nabla U （あるいは1次元において Fy=−dUdyF_y = -\dfrac{dU}{dy}）という重要な関係がある。実際，U=mgyU = mgy を yy で微分してマイナスをつけると，重力 Fy=−mgF_y = -mg が正しく導かれることがわかる。

弾性力による位置エネルギー

公式

弾性力の位置エネルギー（弾性エネルギー）

ばねが自然長であるときの位置を原点Oとし，ばねの伸び（または縮み）の方向に xx 軸をとる。ばね定数が kk のばねの伸びが xx であるとき，ばねにつながれた物体が持つ弾性力の位置エネルギー UU は次のように求める。

U=12kx2U = \dfrac{1}{2}kx^2
導出

重力のときと同様に，ばねの伸びが 00 （自然長）から xx になるまで，物体を静かに（等速で）引っ張るために外力 FF がする仕事 WW を計算する。

ばねが x′x' だけ伸びているとき，フックの法則によりばねは物体を自然長に戻そうとする向きに弾性力 kx′kx' を及ぼす。物体を加速させずにゆっくりと引っ張るためには，この弾性力と釣り合うだけの外力 FF を加え続けなければならない。力のつり合いの式より，

0=F−kx′  ⟹  F=kx′0 = F - kx' \implies F = kx'

となる。つまり，ばねを伸ばせば伸ばすほど，加えるべき外力 FF は大きくなっていく。

この外力 FF が，位置 00 から xx まで物体を移動させる間にする仕事 WW を積分によって求める。

W=∫0xF dx′=∫0xkx′ dx′W = \int_0^x F \, dx' = \int_0^x kx' \, dx'

積分を実行すると，

W=[12k(x′)2]0x=12kx2W = \left[ \dfrac{1}{2}k(x')^2 \right]_0^x = \dfrac{1}{2}kx^2

この外力がした仕事がばねの弾性エネルギーとして蓄積されるため，U=12kx2U = \dfrac{1}{2}kx^2 が導出される。

説明

仕事の積分とグラフの面積 弾性力のように位置によって大きさが変化する力がする仕事を求める場合，積分の概念が不可欠となる。 外力 F=kxF = kx のグラフを縦軸に力 FF，横軸に伸び xx をとって描くと，原点を通る傾き kk の直線になる。位置 00 から xx まで伸ばすときの仕事 W=∫0xkxdxW = \int_0^x kx dx は，このグラフと xx 軸に囲まれた直角三角形の面積に等しい。 底辺が xx，高さが kxkx の直角三角形の面積は 12×(底辺)×(高さ)=12⋅x⋅kx=12kx2\dfrac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ}) = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot kx = \dfrac{1}{2}kx^2 となり，直感的な図形計算からもエネルギーの公式が導かれることがわかる。

公式

保存力がする仕事と位置エネルギーの減少

保存力（重力や弾性力など）が物体に対して仕事 WW をしたとき，物体の位置エネルギー UU はその仕事の分だけ減少する。物体の位置が状態1から状態2へ変化したとき，位置エネルギーの変化量 ΔU=U2−U1\Delta U = U_2 - U_1 と保存力がする仕事 WW の間には次の関係が成り立つ。

W=−ΔU=U1−U2W = -\Delta U = U_1 - U_2
導出

位置エネルギー UU は「外部から加えた力（外力）」がする仕事として定義された。物体をゆっくり動かすとき，外力 Fext\boldsymbol{F}_{\text{ext}} と保存力 Fcons\boldsymbol{F}_{\text{cons}} はつねにつり合っているため，Fext=−Fcons\boldsymbol{F}_{\text{ext}} = -\boldsymbol{F}_{\text{cons}} が成り立つ。

状態1から状態2まで移動する間に外力がする仕事を WextW_{\text{ext}}，保存力がする仕事を WconsW_{\text{cons}} とすると，それぞれの定義より以下の関係が導かれる。

Wext=∫12Fext⋅dr=U2−U1=ΔUW_{\text{ext}} = \int_1^2 \boldsymbol{F}_{\text{ext}} \cdot d\boldsymbol{r} = U_2 - U_1 = \Delta UWcons=∫12Fcons⋅dr=∫12(−Fext)⋅dr=−Wext=−ΔUW_{\text{cons}} = \int_1^2 \boldsymbol{F}_{\text{cons}} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_1^2 (-\boldsymbol{F}_{\text{ext}}) \cdot d\boldsymbol{r} = -W_{\text{ext}} = -\Delta U

例えば，物体が落下するとき，重力（保存力）は正の仕事をする。このとき位置エネルギーは減少するため，ΔU\Delta U は負の値となる。この式は，保存力が仕事をした分だけ「蓄えられていたエネルギー（ポテンシャル）」が消費されるという，エネルギー保存則の根幹をなす数学的表現である。